剛ちゃん

雑学や小話０３

ＧＰＳの仕組み

　
▲ＧＰＳ端末の場所を特定する方法
GPS受信機（以下、ＧＰＳ）と地上約２万キロにある３機の静止衛星
（以下、衛星）からの距離を計算して位置を特定している。
▲▲計算方法
原点を地球の重心とする３次元座標を考える。
方程式３・未知数３の球の式で、ＧＰＳの位置が２箇所特定できる。
解の一箇所は地表上、あとの１つは宇宙空間にあり、
ＧＰＳの位置としては地表上を選択する。
地球を回る３個のボール（中心には衛星）が重なっている姿を想像しよう。
現実には４機目の時間補正用の衛星の未知数ｔ（時間）を加えた
４次元方程式で位置を確定する。
＜ＧＰＳと衛星間の距離計算方法
衛星には原子時計を装備し送信時、電波内に発信時刻情報を入力する。
衛星とＧＰＳの距離は衛星から受信する電波の時刻情報とＧＰＳ自身の
時間のずれで計算する。（電波は電磁波の一種で速度は光と同じ約３０万km／sec）
■データ補正１
ＧＰＳに搭載されるクオーツ時計は衛星の原子時計ほど正確ではない。
時間のずれは４つの衛星からの送信情報をもとにＧＰＳ内の時刻情報の
データ補正をして算出している。
■データ補正２
アインシュタインの相対性理論によりデータ補正が必要となる。
①特殊相対性理論
高速で移動する程、時間が遅れる。
衛星は３．８８km／secで移動しているため衛星に搭載されている原子時計は
地上に対して時間が遅れる。遅れる数値：一兆分の８３倍
②一般相対性理論
重力が強い程、時間が遅れる。
衛星より地上は重力が大きいため衛星に搭載されている原子時計は
地上に対して時間が進む。進む数値：一兆分の５２８倍
→①と②の差し引き一兆分の４４５倍だけ衛星に搭載されている原子時計は
地上の時計より早く時を刻む。ＧＰＳはこの誤差も補正している。
補正をしなかった場合は表示位置が約１１．５kmずれる。
∵１日の秒数（８６４００秒）×誤差（一兆分の４４５）＝０．３８５／１００００秒
　１／１００００秒は光が約３０km進む距離なので、３０×０．３８５＝約１１．５km

飛行機の位置

　
■慣性航法装置
航空機の位置情報を得るための装置である。
慣性航空装置内ではジャイロスコープを使って加速度の変化を検出している。
この装置を複数個使うことで、出発点から３次元方向の移動距離を算出する。
位置情報は、Ｘ・Ｙ・Ｚ軸方向に加速度を２度積分することで移動距離を計算できる。
▲数学的な意味
距離＝速度×時間
加速度＝速度の変化
∴　加速度→（積分）→速度→（積分）→距離
慣性航法装置では、積分計算を２度している！

＜おまけ
微分積分を「飛行機は積分で夜でも飛べる」の話から入ってもらえたら嬉しい。
但し、現代の飛行機は慣性航法装置ではなくGPSで位置情報を得ている。

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