剛ちゃん

雑学や小話２３

指の数

　
自然は人に１０本の指を与えた。
物をつかむのに便利な数なのだろう。
パソコンなどの電子機器は２進法でプログラムされている。
ICは電圧の有無、光ファイバーの中は光の点滅を０と１に読みかえている。
　＊進法とは＊で桁上がりをする数の表記方法である。
１０進法は０から数えて１０で９から１０に桁上がりする。
だから、数を記述する記号は０を含んで１０個必要となる。
同様に、２進法は０から数えて２で１から１０に桁上がりする。
さて、コンピューターのプログラムを計算する時、２進法を人が
計算すると０と１の羅列は間違いやすい。
そこで２進法の４桁をひとまとまりで変換できる１６進数で表記している。
１６進数は１０進数でいう１０をAで表わす、以下Ｆまでの記号を使っている。
零の発見

　
零はインドで発見された。
「数」としての零の概念を確立したのがインドである。
０はアラビアを経由してヨーロッパに伝わった。
インド数字の１０や１００を
ローマ数字ではＸやＣ、漢字では拾や百と書いていた。
∴１０２＝Ｃ２＝百二
零は数として扱われなかった。
今、当たり前に０を計算しているが０が無かったらやりにくいだろうな。
■０について
①１×０＝０　なしか
∵　一般論として１を自然数Ａとする。
Ａ×０＝Ａ×（０＋０）＝Ａ×０＋Ａ×０
つまりＡ×０＋Ａ×０＝Ａ×０
ここでＡ×０＝ＢとするとＢ＋Ｂ＝Ｂ
ＢにＢを足してＢになる数は０しかない。
∴Ｂ＝Ａ×０＝０　つまりＡ×０＝０　→　１×０＝０
②１÷０＝（０で割る事は禁止）　なしか
∵　一般論として自然数ＡＢＣとして考える。
　　Ａ÷Ｂ＝Ｃ　　⇔　Ｃ×Ｂ＝Ａ
ここでＢ＝０の場合を考える。
　　Ａ÷０＝Ｃ　　⇔　Ｃ×０＝Ａ
ところが①で説明したように　Ｃ×０＝０
Ａ＝１とすると　Ｃ×０＝１となりＣがどんな数であってもＣ×０＝Ａは成立しない。
つまり自然数は０で割れない。
③０÷０＝不定　なしか
②のＣ×０＝ＡはＣ×０＝０となりＣはどんな数でも成立する。
つまり、０÷０＝Ｃはどんな数でもいい（不定）。
■∞について
数学に無限大∞という記号がある。
∞＋１＝∞
∞－１＝∞
∞＋∞＝∞
これは明らかに右辺と左辺が異なるのに等号で結ばれている。
なしか
∵　ここでいう∞とは「無限大に発散する数列であって数ではない」と定義される。
∞＋１＝∞の意味は「無限大に発散する数列に１に収束する数列を項毎に加えても
無限大に発散する」と主張しているだけ。
①∞×０＝不定　なしか
　以下に３種類の数列を考える。
数列【１】 １，２，３，４．５，・・・・・・・・・・・・ｎ・・・・・・・・・・・・→∞に発散
数列【２】 １，1/2，1/3，1/4，・・・・・・・・・1/n・・・・・・・・・・・→０に収束
数列【３】 １，1/4，1/9，1/16，・・・・・・・1/n*n・・・・・・・・・・・→０に収束
数列【１】×数列【２】＝１×１，２×1/2，３×1/3，・・・＝１，１，１，・・・・・・１に収束
∴数列【１】×数列【２】＝∞×０＝１
数列【１】×数列【３】＝１×１，２×1/4，３×1/9，・・＝１，１/2，1/3，・・・・０に収束
∴数列【１】×数列【２】＝∞×０＝０
→∞×０は様々な数列の組み合わせで１、０、－∞などになり「不定」となる。
②∞－∞＝不定　なしか
この場合も ０、∞、－∞などになり、∞－∞はどんな数でもいい「不定」となる。
＜考察
こんなことなら０を数として扱わなければいいのにとなるが、　
０を使わないと計算がかえって複雑になる。
→数学は定義だらけの世界だった。

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